Materia: Matemáticas II

Hecho por: Edher Noe León Perez

Grupo: 204

COBAO 04 "EL TULE"

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
I.- Clasificación de ángulos por su abertura
II.- Clasificación de ángulos por la suma de sus ángulos
III.- Clasificación de ángulos por el sentido del giro

I.- Clasificación de ángulos por su abertura
Angulo nulo: Un angulo que mide 0º





Angulo agudo: Un angulo que mide menos de 90º

Angulo recto: Un angulo que mide 90º










Obtuso: Un angulo que mide mas de 90º pero menos de 180º










Angulo llano: Un angulo que mide 180º












Angulo cóncavo: Un angulo que mide mas de 180º pero menos de 360º

Angulo completo: Un angulo que mide 360º










II.- Clasificación de ángulos por la suma de sus ángulos
Ángulos complementarios: Devienen de la sumatoria de dos ángulos cuyo resultado es 90º










Angulos suplementarios: Son el resultado de la sumatoria de dos angulos cuyo resultado es180º









III.- Clasificación de ángulos por el sentido del giro
Ángulos positivos: Cuando estos giran al contrario del reloj de agujas

Ángulos negativos: Cuando estos giran en la misma dirección del reloj de agujas

TEOREMAS SOBRE ÁNGULOS

Teorema I: Dos ángulos adyacentes son suplementarios.

Teorema II: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Teorema III: Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta, suman 180°.

Teorema IV: La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto, suman 360°.

Teorema V: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos iguales.

Teorema VI: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos externos iguales.

Teorema VII: Dos ángulos conjugados internos, entre paralelas, son suplementarios.

Teorema VIII: Los ángulos conjugados externos, entre paralelas, son suplementarios.

Teorema IX: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo sentido, son iguales.

Teorema X: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en sentido contrario, son iguales.

Teorema XI: Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, dos de ellos dirigidos en el mismo sentido, y los otros dos en sentido contrario, dichos ángulos son suplementarios.

Teorema XII: Dos ángulos agudos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son iguales.

Teorema XIII: Dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son suplementarios.

Teorema XIV: Dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares, son iguales.
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TEOREMAS DE ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Y UNA RECTA TRANSVERSAL

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE
Al intersecar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulo:
Ángulos correspondientes: Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.
Ángulos alternos internos: Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.
Ángulos alternos externos: Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.
Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son:
1. Los ángulos correspondientes son iguales entre sí.
2. Los ángulos alternos internos son iguales entre sí.
3. Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

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TEOREMAS DE ÁNGULOS INFERIORES Y EXTERIORES DE UN TRIÁNGULO


Teorema para ángulos internos de un triángulo: Los ángulos internos de todo triángulo suman 180°.

Teorema para ángulos externos de un triángulo: Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes.

Teorema para ángulos externos de un triangulo: Los ángulos externos de todo triangulo suman 360º.

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TEOREMAS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Triángulos congruentes: Son aquellos triángulos que tienen la misma forma y el mismo tamaño.

Ejemplo:

Criterios de congruencia

Los criterios de congruencia corresponden a los postulados y teoremas que enuncian cuáles son las 

condiciones mínimas que deben reunir dos o más triángulos para que sean congruentes.

Estas son:

1.- Congruencia de sus lados

2.- Congruencia de sus ángulos

Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean iguales.

Los postulados o criterios básicos de congruencia de triángulos son:

Postulado LAL

LAL significa lado-ángulo-lado.

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo determinado por ellos respectivamente iguales.

Postulado ALA
ALA significa ángulo-lado-ángulo.
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos, respectivamente, iguales.

Postulado LLL

LLL significa lado-lado-lado.

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.

Teoremas de congruencia 

Teorema AAL:

(Ángulo, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los ángulos, tienen la misma medida y longitud, respectivamente.

Congruencia de triángulos rectángulos

-Criterio HC (Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

-Criterio CC (Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los catetos de uno de los triángulos tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro.

-Criterio HA (Hipotenusa, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

-Criterio CA (Cateto, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si el cateto un ángulo agudo (el adyacente o el opuesto) de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Triangulo semejantes: Son aquellos triángulos que tienen la misma forma pero diferente tamaño.
Ejemplo

Dados los triángulos ABC y A'B'C' determinamos los lados y ángulos homólogos.

Lados homólogos:

a y a', b y b', c y c' 

Ángulos homólogos:

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.

La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.

La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.

Los postulados o criterios básicos de semejanza de triángulos son:

Postulado 1:

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

Postulado 2:

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

Postulado 3:

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

Semejanza de triángulos rectángulos:

1.- Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.

2.- Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.

3.- Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.

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TEOREMA DE TALES DE MILETO

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Ejemplos

1.- Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

2.-  Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

Sí, porque se cumple el teorema de Thales.

Teorema de Thales en un triángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otrotriángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Ejemplo:

Hallar las medidas de los segmentos a y b.

Aplicaciones del teorema de Thales

El teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.

Ejemplo:

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales.

1.- Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2.- Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A

3.- Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

EJERCICIOS:

1.- Encuentra el valor de X.

2.- Encuentra el valor de X y Y.












3.- Encuentra el valor de a y b.

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TEOREMA DE PITAGORAS

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Demostraciones geométricas propuestas por diferentes autores:

PLATON:

EUCLIDES:

BASKHARA:

EJERCICIOS